Преобразование фигуры F в фигуру F1 называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 1).
Пусть F – данная фигура и O – фиксированная точка (рис. 2). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч OX и отложим на нем отрезок OX1, равный k·OX, где k – положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка x переходит в точку x1, построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра O. Число k называется коэфициентом гомотетии, фигуры F и F1 называется гомотетичными. Теорема. Гомотетия есть преобразование подобия. Доказательство. Пусть О – центр гомотетии, k – коэффициент гомотетии, X и Y – две произвольные точки фигуры (рис. 3). При гомотетии точки X и Y переходят в точки X1 и Y1 на лучах OX и OY соответственно, причем OX1=k·OX, OY1=k·OY. Отсюда следуют векторные равенства
Вычитая эти равенства почленно, получим:
Так как
то Значит т.е.. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.
Свойства преобразования подобия
. Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки. Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми. Пусть угол АВС преобразованием подобия с коэффициентом k переводится в угол А1В1С1 (рис. 4). Подвергнем угол АВС преобразованию гомотетии относительно его вершины В с коэффициентом гомотетии k. При этом точки А и С перейдут в точки А2 и С2. Треугольники А2ВС2 и А1В1С1 равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов АВС и А1В1С1, что и требовалось доказать.
Признаки подобия треугольников.
Признак подобия треугольников по двум углам. Теорема. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Доказательство. Пусть у
∆АВС и ∆А1В1С1 углы А и А1 равны, В и В1 равны. Докажем, что ∆АВС подобен ∆А1В1С1. Пусть k=АВ/А1В1. Подвергнем треугольник А1В1С1 преобразованию подобия с коэффициентом k, например гомотетии (рис. 5). При этом получим некоторый треугольник А2В2С2, равный треугольнику АВС. Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то углы А2 и А1 равны, В2 и В1 равны. А значит, у треугольников АВС и А2В2С2 углы А и А2 равны, углы В и В2 равны. Далее, А2В2=kА1В1=АВ. Следовательно, треугольники АВС и А2В2С2 равны по второму признаку (сторона и прилежащие к ней углы). Так как треугольники А1В1С1 и А2В2С2 гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники А2В2С2 и АВС равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А1В1С1 и АВС подобны. Теорема доказана.
Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними. Теорема. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны. Пусть у треугольников АВС и А
1В1С1 угол С=С1 и АС=kА1С1, ВС=kВ1С1. Докажем, что треугольники АВС и А1В1С1 подобны. Подвергнем треугольник А1В1С1 преобразованию подобия с коэффициентом подобия k, например гомотетии (рис. 6). При этом получим некоторый треугольник А2В2С2, равный треугольнику АВС. Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то угол С2=С1. А значит, у треугольников АВС и А2В2С2 угол С=С2. Далее, А2С2=kА1С1=АС, В2С2=kВ1С1=ВС. Следовательно, треугольники АВС и А2В2С2 равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). Так как треугольники А1В1С1 и А2В2С2 гомотетичны и значит, подобны, а треугольники А2В2С2 и АВС равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А1В1С1 и АВС подобны. Теорема доказана.
Признак подобия треугольников по трем сторонам. Теорема. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Доказательство. Пусть у треугольников АВС и А
1В1С1 АВ=kА1В1, АС=kА1С1, ВС=kВ1С1. Докажем, что треугольники АВС и А1В1С1 подобны. Подвергнем треугольник А1В1С1 преобразованию подобия с коэффициентом k, например гомотетии (рис. 7). При этом получим некоторый треугольник А2В2С2, равный треугольнику АВС. Действительно, у треугольников соответствующие стороны равны: А2В2=kА1В1=АВ, А2С2=kА1С1=АС, В2С2=kВ1С1=ВС. Следовательно треугольники равны по третьему признаку (по трем сторонам). Так как треугольники А1В1С1 и А2В2С2 гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники А2В2С2 и АВС равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А1В1С1 и АВС подобны. Теорема доказана.
Признак подобия прямоугольных треугольников. У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому по теореме подобия треугольников (по двум углам): Для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.
Свойства высоты опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника.
Проведем высоту в прямоугольном треугольнике АВС из прямого угла С (рис. 8). Прямоугольные треугольники АСD и СВD подобны (см. №5). У них равны острые углы при вершинах А и С. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их сторон:
или
Это соотношение обычно формулируется так: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
Свойство катетов прямоугольного треугольника. Пусть АВС – прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту С
D из вершины прямого угла (рис. 8). Треугольники АВС и СВD имеют общий угол при вершине В. Следовательно, они подобны. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
или
Это соотношение обычно формулируют так: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Свойство биссектрисы треугольника. Свойство. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Пусть С
D – биссектриса треугольника АВС (рис. 9). Если треугольник АВС равнобедренный с основанием АВ, то указанное свойство биссектрисы очевидно, так как в этом случае биссектриса СD является и медианой. Рассмотрим общий случай, когда АС¹
ВС. Опустим перпендикуляры АF и BE из вершин А и В на прямую CD. Прямоугольные треугольники ACF и BCE подобны, так как у них равны острые углы при вершине С. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: AC/BC=AF/BE. Прямоугольные треугольники ADF и BDE тоже подобны. У них углы при вершине D равны как вертикальные. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: AF/BE=AD/BE. Сравнивая это равенство с предыдущим, получим: AC/BC=AD/BD или AC/AD=BC/BD, т. е. отрезки AD и BD пропорциональны сторонам AC и BC, что и требовалось доказать.
Центральные и вписанные углы, градусная мера дуги. Теорема о вписанном угле.
Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.
Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующий этому центральному углу. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность называется вписанным в окружность. Угол ВАС на рисунке 10 вписан в окружность. Его вершина А лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках В и С. Прямая ВС разбивает окружность на две дуги. Центральный угол, соответствующий той из этих дуг, которая не содержит точку А, называется центральным углом, соответствующим данному вписанному углу
.
Теорема. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла. Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности (рис. 11, а). Треугольник АОВ равнобедренный, так как у него стороны ОА и ОВ равны как радиусы. Поэтому углы А и В треугольника равны. А так как их сумма равна внешнему углу треугольника про вершине О, то угол В треугольника равен половине угла АОС, что и требовалось доказать. Общий случай сводится к рассмотренному частному проведением вспомогательного диаметра
BD (рис. 11, б, в). В случае, представленном на рисунке 11, б, Ð
АВС=Ð
CBD+Ð
ABD= =1/2Ð
COD+1/2Ð
AOD=1/2Ð
AOC
Из теоремы о вписанном угле следует, что вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой АВ, равны. В частности, углы, опирающиеся на диаметр, прямые.(по рис. 10).
Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности.
Если хорда АВ и
CD окружности пересекаются в точке S, то AS·BS=CS·DS. Докажем сначала, что треугольники ASD и CSB подобны (рис. 12). Вписанные углы DCB и DAB равны по следствию теоремы о вписанном угле. Углы ASD и BSC равны как вертикальные. Из равенства указанных углов следует, что треугольники ASD и CSB подобны. Из подобия треугольников следует пропорция DS/BS=AS/CS. Отсюда AS·BS=CS·DS, что и требовалось доказать.
Если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках A, B и C, D соответственно, то
AP·BP=CP·DP. Пусть точки А и С – ближайшие к точке Р точки пересечения секущих с окружностью (рис. 13). Треугольники PAD и PCB подобны. У них угол при вершине Р общий, а углы при вершинах В и D равны по свойству углов, вписанных в окружность. Из подобия треугольников следует пропорция PA/PC=PD/PB. Отсюда PA·PB=PC·PD, что и требовалось доказать.
Формула о величинах углов с вершиной внутри и вне окружностей.
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Доказательство. Пусть АВС – данный треугольник (Рис. 14). Докажем, что ВС2=АВ2+АС2–2АВ·АС·cosА. Имеем векторное равенство. Возводя это равенство скалярно в квадрат, получим:
Теорема доказана.
Теорема синусов. Связь между сторонами и углами треугольника и радиус описанной окружности.
Теорема: Стороны треугольников пропорциональны синусам противолежащих углов. Доказательство. Пусть АВС – треугольник со сторонами a, b, c и противолежащими углами a
, b
, g
(рис. 15). Докажем, что
Опустим из вершины С высоту CD. Из прямоугольного треугольника ACD, если угол a
острый получаем: CD = b sin a
(рис. 15, а). Если угол a
тупой, то CD = b sin (180°
– a
) = b sin a
(рис. 15, б ). Аналогично из треугольника BCD получаем CD = a sin b
. Итак, a sin b
= b sin a
. Отсюда
Аналогично доказывается равенство
Для доказательства надо провести высоту треугольника из вершины А. Теорема доказана.
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол. Пусть a и b – две стороны треугольника и a
, b
– противолежащие им углы. Докажем, что если a
>b
, то a>b. И обратно: если a>b, то a
>b
. Если углы a
и b
острые (рис. 16, а), то при a
>b
будет sina
> sinb
. А так как
то
a>b. Если угол a
тупой (оба угла не могут быть тупыми), то угол 180°
– a
острый (рис. 16, б). Причем угол 180°
– a
больше угла b
как внешний угол треугольника, не смежный с углом b
. Поэтому sina
=sin(180°
–a
)>sinb
. И мы снова заключаем, что a>b. Докажем обратное утверждение. Пусть a>b.Надо доказать, что a
>b
. Допустим, что a
≤b
. Если a
=b
, то треугольник равнобедренный и a=b. Если a
<b
, то по доказанному a>b. В обоих случаях получается противоречие, так как по предположению a>b, значит a
>b
, что и требовалось доказать.
Радиус описанной окружности. Докажем, что в теореме синусов каждое из трех отношений:
– равно 2R, где R – радиус окружности, описанной около треугольника.
Доказательство. Проведем диаметр BD (рис. 17). По свойству углов, вписанных в окружность, угол при вершине D прямоугольного треугольника BCD равен либо a
, если точки А и D лежат по одну сторону от прямой ВС (рис. 17, а), либо 180°
–a
, если они лежат по разные стороны от прямой ВС (рис. 17, б). В первом случае BC=BDsina
, во втором BC=BDsin(180°
–a
). Так как sin(180°
–a
)=sina
, то в любом случае а=2Rsina
. Следовательно,
что и требовалось доказать.
Решение треугольников.
Дано: a, b, Ð
g
. Найти: c-? Ð
b
-? Ð
a
-? (рис. 18).
Дано: a, Ð
a
, Ð
b
. Найти: с-? b-? Ð
g
-? (рис. 18).
Дано: a, b, c. Найти: Ð
a
-? Ð
b
-? Ð
g
-? (рис. 18).
Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника.
Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°
(n–2).
Доказательство. Пусть А
1А2А3…Аn – данный многоугольник, О – точка внутри многоугольника. Проведя из точки О прямые к вершинам многоугольника, получим треугольники А1А2О, А2А3О,… и т.д. Число этих треугольников равно n. Если сложить углы всех треугольников получим 180°
n, так как сумма углов каждого из треугольников равна 180°
. Чтобы узнать сумму углов многоугольника нужно из 180°
n вычесть 360°
(360°
– это сумма углов при точке О): 180°
n–360°
или 180°
(n–2). Теорема доказана.
Доказательство. В случае
n=3 теорема справедлива. Пусть А1А2…Аn – данный выпуклый многоугольник и n>3 (рис. 20). Проведем n–3 диагонали: А1А3, А1А4, …, Аn–1Аn. Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на n–2 треугольника. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна 180°
, а число этих треугольников есть n–2. Поэтому сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°
(n–2). Теорема доказана.
Теорема о правильном выпуклом многоугольнике. Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности. Пусть А и В – две соседние вершины правильного многоугольника. Проведем биссектрисы углов многоугольника А и В. Пусть О – точка их пересечения (рис. 21). Треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ и углами при основании, равными a
/2, где a
– угол многоугольника. Соединим точку О с вершиной С, соседней с В. Треугольники АВО и СОВ равны по первому признаку равенства треугольников (стороны и углы равны). Из равенства треугольников следует, что треугольник ОВС равнобедренный с углом при вершине С, равным a
/2, т. е. СО есть биссектриса угла С. Повторяем те же действия с остальными вершинами. В итоге получается, что каждый треугольник, у которого одна сторона есть сторона многоугольника, а противолежащая вершина – точка О, является равнобедренным. Все эти треугольники имеют равные боковые стороны и равные высоты, опущенные на их снования. Отсюда следует, что вершины многоугольника находятся на окружности с центром О и радиусом, равным боковым сторонам треугольников, а все стороны многоугольника касаются окружности с центром О и радиусом равным высотам треугольников, опущенных из вершины О. Теорема доказана.
Формулы радиусов вписанных и описанных окружностей в правильных многоугольниках. Найдем радиус R описанной и радиус r вписанной окружности для правильного многоугольника со стороной а и числом сторон n (рис. 22). Имеем:
Теорема о подобии правильных
n-угольников. Правильные выпуклые n-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны. Доказательство. Докажем сначала второе утверждение теоремы. Итак пусть Р1: А1А2…Аn, Р2: В1В2…Вn – правильные выпуклые n-угольники с одинаковыми сторонами. Докажем, что они равны, т. е. совмещаются движением. Треугольники А1А2А3 и В1В2В3 равны по первому признаку. У них А1А2=В1В2, А2А3=В2В3 и Ð
А1А2А3=В1В2В3. Подвергнем многоугольник Р1 движению, при котором его вершины А1, А2, А3 переходят в вершины В1, В2, В3 соответственно. Как мы знаем, такое движение существует. При этом вершина А4 перейдет в вершину В4, так как движение сохраняет углы и расстояния. Таким же способом заключаем, что вершина А5 переходит в вершину В5 и т. д. Многоугольник Р1 переходит в многоугольник Р2, значит они равны. Чтобы доказать второе утверждение теоремы, подвергнем сначала многоугольник Р1 преобразованию подобия, например гомотетии, с коэффициентом подобия k=В1В1/А1А2. При этом получим правильный n-угольник Р/ с такими же сторонами, как и у Р2. По доказанному многоугольник Р/ переводится движением в многоугольник Р2, а значит, многоугольник Р1 переводится в многоугольник Р2 преобразованием подобия и движением. Теорема доказана.
Длинна окружности. Теорема. Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т. е. одно и то же для любых двух окружностей. Доказательство. Возьмем две произвольные окружности. Пусть
R1 и R2 – их радиусы, а l1 и l2 – их длины. Допустим, что утверждение теоремы неверно и l1/2R1≠l2/2R2, например: l1/2R1<l2/2R2. Впишем в наши окружности правильные выпуклые многоугольники с большим числом сторон n. Если n очень велико, то длинны наших окружностей будут очень мало отличаться от периметров р1 и р2 вписанных многоугольников. Поэтому неравенство l1/2R1<l2/2R2 не нарушится, если в нем заменить l1 на р1, а l2 и р2: р1/2R1<р2/2R2. Но, как мы знаем, периметры правильных выпуклых n-угольников относятся как радиусы описанных окружностей: р1/р2=R1/R2. Отсюда р1/R1=р2/R2. А это противоречит неравенству р1/2R1<р2/2R2. Теорема доказана. Отношение длинны окружности к диаметру обозначается буквой π: π = l/2R. π ≈ 3,1416… Δлинна окружности l=2πR.
Радианная мера угла.
Радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности. За единицу измерения принимается угол длина, которого равна радиусу – эта единица измерения называется радианом.
то 
Значит 
т.е.
. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.
. Возводя это равенство скалярно в квадрат, получим:
