1. Параллельность прямых в пространстве. Теорема о двух прямых, параллельных третьей.
2. Расстояние в пространстве. Геометрические места точек, равноудаленных от двух точек, трех точек, двух плоскостей.
3. Задача по теме “Векторы в пространстве; скалярное произведение”:
а) в прямоугольной декартовой системе координат заданы векторы а(2; 1; -1) и b(1; 2; -1). Найдите координаты вектора с, если c a, с b, |с| = 2ll, а угол между с и осью Ох тупой;
б) ребро правильного тетраэдра ABCD равно а, вектор АС = вектору e1, вектор АС = вектору e2, вектор АD = вектору e3, Точка О — центр треугольника AВС. Точка Р лежит на ребре BD, а точка L — на ребре АС, причем ВР : PD = 2 : 1, AL : LС =1: 2. Найдите, вектор LP вектор OD .
Билет № 2
1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости.
2. Трехгранные и многогранные углы.
3. Задача по теме “Комбинации многогранников и тел вращения”:
а) шар касается всех ребер пирамиды MNKP. Докажите, что MN + КР = МК + NP = МР + KN;
б) около шара описана правильная треугольная призма, а около призмы описан шар. Найдите отношение площадей поверхностей этих шаров.
Билет №3
1. Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
2. Задание сферы и шара в пространстве с помощью координат.
3. Задача по теме “Сечения многогранников”:
а) в правильной треугольной пирамиде, сторона основания которой равна а, а боковое ребро — 3а, проведено сечение параллельно боковому ребру. Найдите площадь этого сечения, если оно является ромбом;
б) постройте сечение куба ABCDA1B1C1, проходящее через точку пересечения диагоналей грани ABCD, параллельно прямым АВ1 и ВК (K — середина СС1). Найдите площадь сечения, если ребро куба равно a.
Билет № 4
1. Связь между параллельностью прямых и перпендикулярностью прямой и плоскости. Теорема о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости.
2. Площадь боковой и полной поверхности призмы и цилиндра.
3. Задача по теме “Координаты в пространстве; уравнения плоскости и сферы”:
а) найдите расстояние между плоскостью 2х-2у - z +3 = 0 и точкой А(0; 2; 2) и угол между этой плоскостью и прямой ОА, где О — начало координат;
б) на плоскости х + 2y + 3z = 25 найдите точку, удаленную на наименьшее расстояние от точки А(2; —3; 5).
Билет №5
1. Взаимное расположение двух плоскостей. Признаки параллельности двух плоскостей.
2. Прямая в координатах в пространстве.
3. Задача по теме “Вписанный шар, описанная сфера”:
а) в треугольной пирамиде ABCD известно, что АС = 4, ВС = 3, АВС = 90°. Ребро AD длиной 12 перпендикулярно плоскости AВС. Найдите радиус описанной около пирамиды сферы;
б) найдите боковое ребро правильной усеченной четырехугольной пирамиды со сторонами оснований а и b, если в пирамиду можно вписать шар.
Билет № 6
1. Свойства параллельных плоскостей. Теорема о единственности плоскости, проходящей через данную точку, параллельно другой плоскости.
2. Площадь боковой и полной поверхности пирамиды и конуса, в том числе усеченных.
3. Задача по теме “Комбинации многогранников”:
а) найдите отношение объемов параллелепипеда ABCDA1B1C1D1и треугольной пирамиды BDC1A1,
б) центры тяжести граней треугольной пирамиды являются вершинами многогранника. Найдите отношение объемов пирамиды и многогранника.
Билет № 7
1. Перпендикулярность двух плоскостей. Признак перпендикулярности двух плоскостей.
2. Площадь ортогональной проекции многоугольника.
3. Задача по теме “Площадь поверхности сферы, объем шара”:
а) в правильной призме
ABCDA1B1C1D1 ребро АВ равно a, угол между АВ1 и DB равен а. Найдите площадь поверхности шара, проходящего через точки В, В1, С1 и А1;
б) в полушар вписан цилиндр наибольшего объема. Найдите отношение объема этого цилиндра к объему полушара.
Билет № 8
1. Свойства перпендикулярных плоскостей. Теорема о линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярных третьей плоскости.
2. Параллельный перенос и его свойства.
3. Задача по теме “Шар”:
а) в куб
ABCDA1B1C1D1 вписан шар радиуса R. Найдите площадь сечения шара плоскостью AD1C;
б) вершина А куба
ABCDA1B1C1D1 является центром сферы, а вершина D1 лежит на этой сфере. Найдите длину линий пересечения сферы и поверхности куба, если ребро куба а. Сделайте чертеж.
Билет № 9
1. Перпендикуляр и наклонная. Теоремы о трех перпендикулярах (2).
2. Правильные многогранники. Формула Эйлера (без вывода).
3. Задача по теме “Объем конуса, усеченного конуса”:
а) высоту конуса разделили на 5 равных частей и провели через каждую точку деления плоскость, параллельную основанию. Объем части, заключенной между вторым и третьим сечениями, равен
V. Найдите объем конуса;
б) образующая усеченного конуса наклонена к плоскости основания под углом 60°, а центр большего основания равноудален от меньшего основания и боковой поверхности конуса. Найдите объем усеченного конуса, если площадь его боковой поверхности 2
.
Билет № 10
1. Углы между двумя прямыми в пространстве. Теорема об углах с сонаправленными сторонами.
2. Теорема Гюльдена. Площадь поверхности сферы (с доказательством). Площадь сферической поверхности сферического сегмента (без доказательства).
3. Задача по теме “Объем призмы” (4105, 4124):
а) объем треугольной призмы АВСА
1В1С1 равен V, а длина бокового ребра равна а. На прямой АA1, выбирают отрезок MN длины b. Найдите объем пятигранника MNB1BCC1 (ребра MN, С1С, В1В, В1С1, ВС, МВ1, МС1, NB, NC);
б) все ребра треугольной призмы касаются шара радиуса
R. Найдите объем призмы.
Билет № 11
1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признаки скрещивающихся прямых.
2. Векторы в пространстве. Действия над векторами (кроме скалярного произведения). Координаты векторов.
3. Задача по теме “Цилиндр, конус”:
а) даны две параллельные плоскости, расстояние между которыми равно х. Между ними расположен конус с образующей 25 см и радиусом основания 7 см так, что на каждой плоскости есть хотя бы одна точка конуса, а вне плоскостей таких точек нет. Найдите все возможные значения х;
б) через точку М, лежащую в плоскости основания цилиндра с радиусом основания 3 и высотой 3 и удаленную от оси цилиндра на расстояние 7, проводят всевозможные прямые, имеющие с цилиндром единственную общую точку. Какие значения может принимать длина отрезка такой прямой от точки М до общей точки прямой и цилиндра?
Билет № 12
1. Расстояние между двумя точками в координатах. Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении.
2. Описанная около многогранника сфера. Расположение ее центра (на примере сферы, описанной около призмы).
3. Задача по теме “Призма, параллелепипед, куб”:
а) диагонали АВ1 и DC1, граней четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 параллельны. Докажите, что прямые AD1 и ВС1 также параллельны;
б) дан куб с ребром а. Второй куб получен поворотом первого на угол (0 < < 90°) вокруг ребра. Определите объем общей части этих кубов.
Билет № 13
1. Скалярное произведение векторов и его свойства.
2. Построения в пространстве. Построение плоскости, перпендикулярной прямой и перпендикулярной плоскости, проходящей через данную точку.
3. Задача по теме “Объем пирамиды”:
a) высоту пирамиды разделили в отношении 3 : 7, считая от вершины, и провели сечение, параллельное основанию. В каком отношении разделится объем пирамиды?
б) в основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 7, 15 и 20. Боковые ребра пирамиды имеют равную длину, а центр описанного около пирамиды шара удален от плоскости основания на расстояние 213/16 . Найдите объем пирамиды.
Билет № 14
1. Взаимное расположение сферы и плоскости в пространстве. Теорема о сечении сферы плоскостью.
2. Параллельное проектирование и его свойства. Изображение фигур на плоскости (треугольник, параллелограмм, трапеция, тетраэдр, параллелепипед).
3. Задача по теме “Боковая, полная поверхность пирамиды”:
а) найдите двугранный угол при ребре основания правильной четырехугольной пирамиды, если плоскость, проведенная через сторону основания, делит этот угол и боковую поверхность пирамиды пополам;
б) в основании пирамиды объемом 4, 8 лежит треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если ее высота составляет равные углы с боковыми гранями, а основание высоты внутри основания пирамиды.
Билет № 15
1. Сечение пирамиды плоскостями, параллельными основанию. Теорема об отношении периметров и площадей сечений пирамиды плоскостями, параллельными основанию.
2. Поворот вокруг прямой в пространстве и его свойства. Фигуры вращения.
3. Задача по теме “Угол между двумя плоскостями, двугранный угол”:
а) основание пирамиды — правильный шестиугольник. Одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно к плоскости ее основания и равно стороне шестиугольника. Найдите: двугранные углы при ребрах основания пирамиды, углы наклона боковых ребер пирамиды к плоскости ее основания;
б) боковое ребро правильной треугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол ( < 45°). Найдите угол наклона плоскости, проходящей через сторону основания и центр шара, описанного около пирамиды, к плоскости основания пирамиды.
Билет № 16
1. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам. Векторный базис в пространстве.
2. Пирамида. Виды пирамид. Усеченная пирамида.
3. Задача по теме “Прямые и плоскости в пространстве: угол между прямой и плоскостью”:
а) для правильного тетраэдра ABCD с ребром а определите расстояние от точки К — середины ребра AC — до плоскости BCD и угол между прямой KB и этой плоскостью;
б) все ребра наклонной призмы АВСА1В1С1, в основании которой лежит правильный треугольник, равны a. Точка А1 равноудалена от А, В и С. Найдите расстояние от вершины А1 до плоскости ВСС1 и угол, который составляет с этой плоскостью прямая А1С.
Билет № 17
1. Задание пространственных фигур уравнениями и неравенствами. Уравнение плоскости.
2. Центральная симметрия в пространстве и ее свойства. Примеры центрально-симметричных пространственных фигур.
3. Задача по теме “Пирамида”:
а) в правильном тетраэдре ABCD точки К и L — середины ребер AD и ВС соответственно. Найдите угол между KL и высотой СС1 треугольника AВС;
б) объем пирамиды
ABCD равен V. Найдите объем пирамиды KNBP, если В — середина АР,K лежит на ребре AD и АК : KD = 3, N — точка пересечения медиан грани BCD.
Билет № 18
1. Вывод формулы расстояния от точки до плоскости в координатах.
2. Призма. Виды призм.
3. Задача по теме “Прямые и плоскости в пространстве: угол и расстояние между прямыми”:
а) два прямоугольных неравных друг другу треугольника
ABD и CBD имеют по острому углу, общий катет BD = а и общую вершину прямого угла D. Найдите угол и расстояние между прямыми АВ и CD, если плоскости ABD и CBD взаимно перпендикулярны;
б) найдите расстояния и углы между диагональю
AС1 куба ABCDA1B1C1D1 и скрещивающимися с ней диагоналями граней этого куба, если ребро куба равно 1.
Билет № 19
1. Вычисление объемов фигур вращения (с помощью интеграла). Вывод формулы для вычисления объемов, конуса, шара.
2. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла. Теорема о равенстве всех линейных углов данного двугранного угла.
3. Задача по теме “Прямые и плоскости в пространстве: расстояние между точками и от точки до прямой”
:
а) К — середина стороны
AD квадрата ABCD со стороной а. Квадрат перегнули по прямой КС так, что образовался двугранный угол 60°. Найдите расстояние между точками В и D;
б) внутри двугранного угла величины
( < 90°) взята точка М, удаленная от граней двугранного угла на а и b соответственно. Найдите расстояние от М до ребра двугранного угла.
Билет № 20
1. Вывод формулы для вычисления объема пирамиды.
2. Симметрия относительно плоскости. Ее свойства.
3. Задача по теме “Прямые и плоскости в пространстве: расстояние от точки до плоскости”:
а) квадрат
ACMD и правильный треугольник АВС расположены так, что двугранный угол М(АС)В =120°, АС = а. Найдите расстояние от точки В до плоскости квадрата и от точки М до плоскости треугольника;
б) дана правильная шестиугольная пирамида
SABCDME (S — вершина). Найдите расстояние от плоскости SAB до каждой, не лежащей на ней, вершины пирамиды, если точка пересечения медиан грани SDM удалена от плоскости SAB на 8 см.
